SISTEME AUTOMATE
CU EŞANTIONARE
TIPURI DE SEMNALE
Un semnal continuu în timp (sau, pe scurt, semnal continuu) este
definit pe un domeniu continuu de timp. Un astfel de semnal poate lua
fie valori continue, fie un număr de valori distincte.
-Un semnal continuu care ia valori continue se numeşte
semnal continuu analogic.
-Un semnal continuu care poate lua numai un număr finit de
valori distincte se numeşte semnal continuu cuantificat.
Procedeul prin care dintr-un semnal
analogic se obţine un semnal cuantificat
se numeşte cuantificare, iar valorile în
număr finit, rezultate în urma cuantificării,
se numesc valori cuantificate.
Uzual, referirea unui semnal drept semnal continuu, presupune
faptul că semnalul respectiv este analogic, prin sintagma "semnal
continuu", neînsoţită de nici o altă precizare, înţelegându-se un
semnal continuu analogic. Din punct de vedere matematic,
semnalele continue (analogice sau cuantificate) sunt funcţii de
variabilă reală cu valori:
-într-o submulţime din R (semnal analogic),
-într-o mulţime cu număr finit de elemente (semnal cuantificat).
Un semnal discret în timp, sau, un
semnal discret este un semnal
definit pe un domeniu discret de
timp. Un astfel de semnal poate
lua fie valori continue, fie un
număr finit de valori distincte. Un
semnal discret care ia valori
continue se numeşte semnal
eşantionat.
Procedeul prin care dintr-un semnal analogic se obţine un
semnal eşantionat se numeşte eşantionare.
Un semnal discret care ia valori
cuantificate se numeşte semnal
numeric.
În practica inginerească,
semnalele numerice se obţin
uzual din semnale analogice prin
eşantionare şi cuantificare.
Deşi semnalele numerice constituie osubmulţime
a semnalelor discrete, în unele lucrări, prin
"semnale discrete" se referă semnalele numerice.
Această situaţie se explică prin faptul că,în
realizările practice,eşantionarea este în general
însoţită şi de cuantificare, deci semnalele discrete
rezultate sunt semnale numerice.
Din punct de vedere matematic, semnalele discrete (eşantionate sau
numerice) sunt funcţii de variabilă întreagă cu valori:
-fie într-o submulţime din R (semnal eşantionat),
-fie într-o mulţime cu număr finit de elemenete (semnal numeric).
semnalul analogic continuu (a) analogic cuantificat (b)
semnalul eşantionat (c) semnal numeric (d)
Discretizarea în timp sau eşantionarea constă în preluarea
din semnalul continuu în timp numai a unor eşantioane
corespunzătoare unor momente discrete de timp.
Aceste momente de eşantionare pot fi:
-echidistante (caz în care se poate vorbi de o perioadă
constantă de eşantionare T)
-aleatoare
-determinate după o anumită lege.
Semnalul discretizat se constituie dintr-o succesiune de
eşantioane ale semnalului continuu x(t) şi se simbolizează
prin x*(t)
Elementul fizic care realizează operaţia de eşantionare se
numeşte eşantionor sau comutator de eşantionare şi
poate fi asimilat printr-un întrerupător care se închide
numai pentru momentele de eşantionare
Dacă funcţionarea eşantionarului este periodică în raport
cu timpul, adică se închide pentru intervale scurte de timp
în mod periodic şi discret: t= 0, T, 2T...KT... se spune că
eşantionarea este uniformă (cazul cel mai frecvent)
Procesul de eşantionare poate fi reprezentat printr-un
proces de modulare în amplitudine, de către semnalul
continuu, a unui tren de impulsuri, care devine semnal
purtător
Pentru descrierea matematică a operaţiei de
eşantionare, se folosesc două modele:
-un model ideal, care consideră că semnalul purtător este
constituit dintr-un tren de funcţii impuls unitare,
-un model real care presupune semnalul purtător sub forma
unui tren de impulsuri dreptunghiulare, de durată finită τ, cu
)()( kTtt
T
Sistemele automate care procesează semnale cuantificate
se numesc sisteme automate continue, iar cele care
procesează sisteme discrete se numesc sisteme automate
discrete
Dacă semnalele discrete procesate sunt semnale
eşantionate, sistemul automat se numeşte sistem automat
cu eşantionare
Dacă semnalele discrete procesate sunt semnale
numerice, sistemul automat se numeşte sistem automat
numeric
Se va face distincţia cuvenită între "sistem automat
numeric", definit anterior şi "automatul" ca sistem cu stări
finite
Momentele de timp în care semnalul de la intrarea CAN este
convertit în semnalul numeric sunt numite momente de
eşantionare
Timpul dintre aceste momente este denumit perioadă de
eşantionare –T
Uzual este utilizată eşantionarea periodică, dar există şi alte posibilităţi.De
exemplu, este posibil să se utilizeze diferite perioade de eşantionare pentru
diferite bucle ale unui sistem. Aceasta este numită eşantionare multiplă.
SISTEME ESENŢIAL DISCRETE
a) Sisteme discrete ca modele pentru algoritmi
implementaţi pe calculator
Exemplu: soluţia unei ecuaţii de forma
x –f(x) = 0
folosind relaţia iterativă (algoritmul lui Picard)
x(k+1) = f(x(k))
unde x(k) este iteraţia cu numărul k
Pentru valorile: un punct de plecare –0; numar iteraţii – 20 se obţin valorile:
b) eşantionarea datorată efectuării măsurătorilor
-Radarul
Când antena radarului se roteşte, informaţia pe o direcţie
dată este reţinută o dată la o rotaţie completă a antenei. Un
sistem cu eşantionare este deci calea naturală de a descrie
sistemul radar. Tentativa de a descrie sistemul radar a fost de
fapt unul din punctele de plecare a sistemelor cu eşantionare.
-Sistemele economice
Contabilitatea este strâns legată de curgerea timpului.
Deşi tranzacţii pot apare în orice moment, informaţii despre
variabilele importante sunt acumulate şi furnizate la anumite
momente de timp (zilnic, săptămânal, lunar etc.).
c) Eşantionarea datorată operării pulsatorii
1.) Tiristorul. Circuitele electronice de putere sunt sisteme
discrete. Curentul prin tiristoare este sincronizat cu o periodicitate
determinată de sursa de alimentare.
2.) Motoarele cu combustie internă. Injecţia poate fi privită ca un
ceas ce sincronizează funcţionarea motorului. Un puls de cuplu
este generat la fiecare injecţie.
3.) Sistemele biologice. Acestea sunt fundamental eşantionate
deoarece transmisia semnalelor în sistemul nervos este sub formă
de impulsuri.
DISCRETIZAREA ŞI
RECONSTITUIREA SEMNALELOR
CONTINUE
CUANTIFICAREA SEMNALELOR
Mulţimea valorilor funcţiei ce defineşte semnalul
este transformată dintr-o mulţime continuă
(de obicei, un interval)
într-o mulţime cu număr finit de elemente
Soluţia cea mai frecvent folosită
este de a exprima rezultatul cuantificării
printr-un număr întreg, reprezentat în baza 2
Dacă se folosesc n poziţii binare,
semnalul cuantificat poate lua 2n valori discrete
Această reprezentare de tip întreg a rezultatului
se numeste codare
În aplicaţii, se utilizează game standardizate
pentru valorile semnalelor ce urmează a fi cuantificate:
- tensiuni bipolare [-5v,5v], [-10v,10v]
- tensiuni unipolare [0,5v], [0, 10v]
Dacă se notează prin [v, V]
gama continuă de valori acceptate
ca intrare într-un cuantificator cu n poziţii binare,
cuantificarea reprezintă, din punct de vedere matematic,
o surjecţie de la mulţimea [v, V] la mulţimea {0, 1, ...2n–1}
cuanta convertorului
q = (V –v)/2n
Pentru o gamă unipolară [0, V],
aplicaţia care realizează cuantificarea uniformă
f:[0,V]→{0, 1, ...2n–1} se defineşte prin:
VqVx
i
q
iq
q
iqxi
x
xf
n
n
,
2
3
2
2,1
2
,
2
)
2
1
,0[0
)(
1
1
Eroarea de rotunjire va satisface egalitatea
qe 2
1
pentru orice
qVx 2
1
,0
adică pentru toată gama [0, V],
cu excepţia intervalului
],
2
1
(VqV
1
2
n
V
e
valoarea maximă a erorii introduse prin cuantificare
este dată de lungimea convertorului n
(numărul de poziţii binare ale acestuia):
CAN este un element neliniar
Consecinţele rotunjirii şi cuantificării depind de sistemul în care
este înglobat CAN.Pentru n ≥ 10 neliniaritatea pe care o
introduce caracteristica de cuantificare poate fi neglijată în
aplicaţiile practice.
Eroarea absolută caracterizează complet calitatea unei
aproximări
Pentru o valoare oarecare
x
q
x
e
x
xx
ei
2
qVx 2
1
,0
EŞANTIONAREA SEMNALELOR
eşantionorul ideal
semnaul de ieşire conţine un tren de funcţii impuls (Dirac)
kk
TkTtkTxkTttxttxtx )()()()()()()(
*
CONVERSIA A/N
Convertorul A/N cu aproximaţii succesive
Conversia N/A
În esenţă procesul de reconstituire a datelor
poate fi considerat ca un proces de extrapolare
O metodă o constituie dezvoltarea în serie de puteri a lui
x*(t)
în intervalul dintre momentele de eşantionare nT şi (n+1)T
2
)(
!2
)(''
))((')()( nTt
nTx
nTtnTxnTxtxn
))1(()(
1
)(' TnxnTx
T
nTx
))1(('')(''
1
)(''' TnxnTx
T
nTx
))2(())1((2)(
1
))1((')('
1
)(''
2TnxTnxnTx
T
TnxnTx
T
nTx
Extrapolatorul de ordin 0
Este folosit numai primul termen al seriei de puteri
dispozitivul este denumit dispozitiv de reţinere de ordin 0
"sample and hold"
xn(t)=x(nT).
Răspunsul la impuls al sistemului
poate fi descris ca fiind format
dintr-o treaptă unitară în origine
şi o treaptă unitară cu semn minus aplicată la momentul T.
s
e
sG sT
h
1
)(
0
Spectrul de frecvenţă al extrapolatorului de ordin 0
se poate deduce din:
2
2
sin
2
sin2
1
)(
22
222
0
T
e
T
T
e
T
j
eee
j
e
jG
TjTj
TjTjTj
Tj
h
diagramele Bode
pulsaţia de eşantionare
T
e
2
e
j
e
e
e
hejG
sin
2
)(
0
Extrapolatorul de ordin 1
Primii 2 termeni ai seriei de puteri sunt folosiţi
pentru a extrapola funcţia de timp x(t)
între 2 momente de eşantionare (nT) şi (n+1)T
))((')()( nTtnTxnTxtxn
T
TnxnTx
txn))1(()(
)('
)(
))1(()(
)()( nTt
T
TnxnTx
nTxtxn
Răspunsul indicial
t
T
TXX
XtX )()0(
)0()(
0
1)0( X
0)( TX
T
tXtghTtpentru 1
1)()(0 01
T
tXtghTtTpentru 1
1)()(2 11
)(
)0()(
)()(
1Tt
T
XTX
TXTX
0)(1)0( Tee
Semnalul continuu reconstituit cu un astfel de extrapolator
Prin micşorarea periodei de eşantionare,
extrapolatorul de ordin 1 dă o aproximare mai bună semnalului
faţă de cazul utilizării extrapolatorului de ordin 0
2
11
)(
1
s
e
T
Ts
sG Ts
h
2
11
)(
1
j
e
T
Tj
jG Tj
h
2
2
22 sin
4
1
2
)(
1
e
e
ee
hjG
T
e
2
ee
harctgjG
22
)(arg 1
extrapolatorul are o caracteristică amplitudine-frecvenţă mai abruptă
Extrapolatorul fracţionar
rezultă printr-o modificare a extrapolatorului de ordin 1:
semnalul de ieşire dintre 2 momente de eşantionare consecutive
are o pantă K (unde K este subunitar).
)2()2()2()()(
2
)()1()(1)( TtuTt
T
k
TtkuTttTt
T
k
Ttuktu
T
kt
tg k
h
2
2
2
2
2
22
1(
1
1
211
)(
sT
Ts
Ts
sTsTsTsT
h
e
Ts
k
s
e
ke
e
Ts
k
e
s
k
e
Ts
k
e
s
k
Ts
k
s
sG k
2
)()(1)( 00 sG
T
k
sGkesG hh
Ts
hk
Extrapolatorul exponenţial
Dacă sunt folosiţi doar primii 2 termeni
ai dezvoltării în serie de puteri a lui esT,
funcţia de transfer a extrapolatorului de ordin 0 poate fi scrisă
11
1
1
11
1
11
)(
Ts
T
Tssess
e
sG sT
sT
he
Se obţine funcţia de transfer a unui filtru trece-jos
Deoarece relaţia corespunde unei funcţii pondere
de tip exponenţial, acest tip de extrapolator
se descrie adesea ca un extrapolator exponenţial
CONVERTOARE N/A
Semnalul la ieşirea CNA va fi un semnal continuu cuantificat
Uzual extrapolatorul utilizat în CNA este de ordin 0
Este numit convertor cu rezistenţe ponderate
deoarece rezistenţele de intrare ale amplificatorului
sunt ponderate după puterile lui 2
Biţii b0, b1, ...bn-2, bn-1
corespunzători semnalului de intrare numeric
comandă comutatoarele astfel:
•dacă bitul bkeste 1,
rezistenţa aferentă este conectată la -Vref,
•iar dacă este zero logic,
rezistenţa aferentă este conectată la masă.
Principalul dezavantaj al acestui tip de circuite de conversie
îl constituie necesitatea utilizării unor rezistenţe
de valori cât mai precise într-un domeniu foarte larg,
ce variază de la R la 2n-1R
nn
nn
nbbbb
b
R
R
U2222 0
1
1
232
1
0
0
Valoarea tensiunii de ieşire este:
