SERII FOURIER
Un exeplu de dezvoltare a unei funcţii periodice (în cazul de faţă,
funcţia sin)
în serie de alte funcţii (în cazul de faţă, polinoame –seria Taylor):
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
int fact(int n){
int i, f=1;
for(i=1; i<=n; i++) f=f*i;
return f;
}
int main()
{
float k, pi=3.1415926, aplhagr, alphard, aprox;
cout<<"k=? "; cin>>k;
alphard=pi*k;
// alphard=pi/4;
cout<<"sin("<<alphard<<")="<<sin(alphard)<<endl;
aprox = alphard - pow(alphard,3)/fact(3) + pow(alphard,5)/fact(5) -
pow(alphard,7)/fact(7) + pow(alphard,9)/fact(9);
cout<<"valoarea calculata este "<<aprox<<endl;
cout<<"eroarea este "<<aprox-sin(alphard); return 0;
}
>> t = 0:.1:10;
>> y = sin(t);
>> plot(t,y);
>> y = sin(t) + sin(3*t)/3;
>> plot(t,y);
>> y = sin(t) + sin(3*t)/3 + sin(5*t)/5;
>> plot(t,y)
>> y = sin(t) + sin(3*t)/3 + sin(5*t)/5 + sin(7*t)/7 + sin(9*t)/9;
>> plot(t,y);
>> t = 0:.02:3.14;
>> y = zeros(10,length(t));
>> x = zeros(size(t));
>> for k = 1:2:19
x = x + sin(k*t)/k;
y((k+1)/2,:) = x;
end
>> plot(y(1:2:9,:)')
>> title('Crearea unei forme dreptunghiulare din functii sinus')
SERII FOURIER
Fie f(t) o funcţie periodică; atunci fpoate fi exprimată
ca o serie infinită
CALCULUL COEFICIENŢILOR
FUNCŢII ORTOGONALE
sin şi cos sunt funcţii ortogonale
deoarece
mai mult decât atât, dacă mşi nsunt întregi diferiţi,
deoarece
Şi, de asemenea,
deoarece
Dacă m = n,
Pentru simplitate, vom lua pe ω = 1, şi
devine atunci
Pentru a calcula un coeficient oarecare, de exemplu b2, vom
multiplica în ambele părţi cu sin 2t; obţinem:
Cu excepţia termenului
toţi ceilalţi sunt zero, deci vom obţine:
În general, vom obţine:
SIMETRIA ÎN SERIILE FOURIER
FUNCŢII PARE ŞI IMPARE
Funcţii pare: f(–t) = f(t)
Funcţii impare: –f(–t) = f(t)
Simetria impară – dacă oundă are simetrie impară
(este o funcţie impară), atunci seria Fourier va conţine doar
termenii în sinus; cu alte cuvinte, dacă f(t) este o funcţie
impară,toţi coeficienţii ai(inclusiv a0)vor fi nuli
Simetria pară -dacă oundă are simetrie pară (este o
funcţie pară), atunci seria Fourier va conţine doar termenii
în cosinus; cu alte cuvinte, dacă f(t) este o funcţie pară,toţi
coeficienţii bivor fi nuli
Simetria de semiperioadă –dacă oundă are o
simetrie de jumătate de perioadă, numai armonicile impare
(termenii cosinus de ordin impar şi termenii sinus de ordin
impar) vor fi prezente; cu alte cuvinte, toate armonicile pare
(termenii cosinus de ordin par şi termenii sinus de ordin
par) vor fi zero
Valoarea medie pe o perioadă este zero, deci a0=0
Funcţia are simetrie impară, deoarece –f(-t) = f(t)
şi simetrie de semiperioadă, deoarece –f(t+T/2) = f(t)
FUNCŢIA IMPULSURI DREPTUNGHIULARE
FUNCŢIA IMPULSURI DREPTUNGHIULARE
DEPLASATE
Funcţia a devenit pară, deoarece f(-t) = f(t)
FUNCŢIA DINŢI DE FIERĂSTRĂU
Valoarea medie pe o perioadă este zero, deci a0=0
Funcţia are simetrie impară, deoarece –f(-t) = f(t)
şi nu are simetrie de semiperioadă
FUNDAMENTALA ŞI ARMONICELE A DOUA ŞI A TREIA
Desigur, putem alege limitele de integrare de la –π la +π
Dacă semnalul este o funcţie impară, SAU o funcţie pară, SAU
prezintă o simetrie de semiperioadă, putem calcula coeficienţii an
şi bncare nu sunt zero integrând de la 0 la π şi înmulţind rezultatul
cu 2, iar dacă funcţia este pară SAU impară ŞI mai prezintă şi
simetrie de semiperioadă, putem integra de la 0 la π/2 şi apoi să
înmulţim rezultatul cu 4
SERIILE FOURIER
PENTRU CELE MAI COMUNE FORME DE UNDĂ
SEMNAL IMPULSURI DREPTUNGHIULARE
funcţie impară doar termenii în sinus
simetrie de semiperioadă doar termenii de ordin impar
presupunem ω = 1
Am arătat că dacă funcţia este pară SAU impară
ŞI mai prezintă şi simetrie de semiperioadă,
putem integra de la 0 la π/2 şi apoi să inmulţim rezultatul cu 4
funcţia este pară ŞI mai prezintă şi simetrie de semiperioadă,
putem integra de la 0 la π/2 şi apoi să inmulţim rezultatul cu 4
pentru n = par, toţi coeficienţii ansunt zero (aşa cum ne aşteptam) şi
toate armonicile pare sunt zero.
pentru n = impar,
alternează ca semn şi vom avea
pentru n = 1, 5, 9, 13, …
iar pentru n = 3, 7, 11, 15, …
SERIA FOURIER
A UNUI SEMNAL ÎN DINŢI DE FIERĂSTRĂU
putem alege limitele de integrare de la –π la +π şi funcţia de integrat
este atunci
dar şi mai bine, deoarece semnalul este o funcţie impară, putem
integra de la 0 la π şi apoi înmulţi cu 2
dacă n = par, sin(nπ) = 0 şi cos(nπ) = 1
dacă n = impar, sin(nπ) = 0 şi cos(nπ) = -1
SERIA FOURIER
A UNUI SEMNAL TRIUNGHIULAR
funcţie impară cu simetrie de semiperioadă doar termeni în
sinus, cu armonici impare
calculăm numai coeficienţii bn
alegem limitele de integrare de la 0 la π/2 şi înmulţim cu 4
presupunem, ca şi până acum, ω = 0
pentru n impar
SERIA FOURIER
A UNUI SEMNAL SINUSOIDAL REDRESAT MONOALTERNANŢĂ
de unde putem calcula toţi coeficienţii an, cu excepţia lui a1
pentru n = impar n = 1, 3, 5, … ai=0
pentru n = par
şi toţi coeficienţii bn, cu excepţia lui b1, sunt zero
SERIA FOURIER
A UNUI SEMNAL SINUSOIDAL REDRESAT DUBLĂ ALTERNANŢĂ
Alegând limitele de integrare de la –π la +π, funcţia are simetrie pară,
şi nu mai trebuie calculaţi decât termenii în cos
Putem calcula toţi coeficienţii an, cu excepţia lui a1
Pentru orice n impar diferit de 1, an= 0
Pentru orice n = par,
FENOMENUL GIBBS
