TRANSFORMATA FOURIER
(INTEGRALA FOURIER)
TRANSFORMATA FOURIER INVERSĂ
FORME SPECIALE ALE TRANSFORMATEI FOURIER
Dacă funcţia f(t) este complexă
substituind obţinem
şi, utilizând identitatea Euler,
CAZUL FUNCŢIILOR REALE
Dacă f(t) este reală, F(ω) este (în general) complexă
Deoarece orice funcţie f(t) poate fi exprimată ca o sumă dintre o
funcţie pară şi o funcţie impară, vom considera separat cazurile în
care funcţia f(t) este reală şi pară, respectiv reală şi impară
Cazul în care f(t) este reală şi pară
pară
impară
a reală
Pentru a determina dacă F(ω) este pară sau impară, calculăm
CONCLUZIE: Dacă f(t) este reală şi pară, F(ω) este reală şi pară
Deci:
Cazul în care f(t) este reală şi impară
pară
impară
ă
Pentru a determina dacă F(ω) este pară sau impară, calculăm
CONCLUZIE:
Dacă f(t) este reală şi impară, F(ω) este imaginară şi impară
Deci: imaginară
CAZUL FUNCŢIILOR IMAGINARE
Dacă f(t) este imaginară, F(ω) este (în general) complexă
Deoarece orice funcţie f(t) poate fi exprimată ca o sumă dintre o
funcţie pară şi o funcţie impară, vom considera separat cazurile în
care funcţia f(t) este imaginară şi pară, respectiv imaginară şi
impară
Cazul în care f(t) este imaginară şi pară
pară
impară
a
Pentru a determina dacă F(ω) este pară sau impară, calculăm
CONCLUZIE: Dacă f(t) este imaginară şi pară, F(ω) este
imaginară şi pară
Deci:
imaginară
Cazul în care f(t) este imaginară şi impară
impară
pară
a
Pentru a determina dacă F(ω) este pară sau impară, calculăm
CONCLUZIE: Dacă f(t) este imaginară şi impară, F(ω) este reală
şi impară
Deci: imaginară
Reală Reală
şi pară Complexă Pară Impară
Reală
Reală
şi pară
Reală
şi impară
Imaginară
Imaginară
şi pară
Imaginară
şi impară
PROPRIETĂŢI ŞI TEOREME
Liniaritatea
Simetria
Scalarea în domeniul timp
Deplasarea în domeniul timpului
Deplasarea în domeniul frecvenţei
Derivarea în domeniul timpului
Derivarea în domeniul frecvenţei
Integrarea în domeniul timpului
Convoluţia în domeniul timpului
Convoluţia în domeniul frecvenţei
Valorile conjugate în timp şi complex
Aria de sub f(t)
Aria de sub F(ω)
Teorema lui Parseval
PROPRIETATEA
Liniaritatea
Simetria
Scalarea în domeniul timp
Deplasarea în domeniul
timp
Deplasarea în domeniul
frecvenţă
Derivarea în domeniul timp
Derivarea în domeniul
frecvenţă
Integrarea în domeniul
timp
Funcţii conjugate
Convoluţia în domeniul
timp
Convoluţia în domeniul
frecvenţă
Aria de sub f(t)
Aria de sub F(ω)
Teorema lui Parseval
TRANSFORMATA FOURIER
A CELOR MAI IMPORTANTE FUNCŢII
Funcţia delta
Teorema deplasării în timp
Transformata Fourier a impulsului unitar deplasat
Transformata Fourier a unei constante
Transformata Fourier a funcţiei cosinus
Transformata Fourier a funcţiei sinus
Transformata Fourier a funcţiei “semn”
Transformata Fourier a funcţiei treaptă unitară
Transformata Fourier a semnalului
Transformata Fourier a semnalului
Transformata Fourier a semnalului
DEDUCEREA TRANSFORMATEI FOURIER
DIN TRANSFORMATA LAPLACE
Exemplul 1
Exemplul 2
Exemplul 3
TRANSFORMATELE FOURIER
ALE UNOR FUNCŢII UZUALE
1.
2.
SAU putem obţine transformata Fourier utilizând proprietatea de deplasare în timp
Înmulţind
Observăm că F(ω) este o funcţie complexă, deoarece f(t) nu este nici pară, nici
impară
(Amintim că e-iωt are şi parte reală şi parte imaginară)
3.
Observăm că semnalul este constituit din suma celor două semnale anterioare, deci
putem aplica proprietatea de liniaritate a transformatei Fourier
4.
5. Transformata Fourier a unei funcţii periodice de timp
Din expresia exponenţială a seriei Fourier
unde
5.
UTILIZAREA MATLAB
PENTRU CALCULUL TRANSFORMATELOR
FOURIER
DIRECTĂ ŞI INVERSĂ
Exemplul 1
syms t v w x; ft=exp(-t^2/2); Fw=fourier(ft)
Fw =
2^(1/2)*pi^(1/2)*exp(-1/2*w^2)
pretty(Fw)
1/2 1/2 2
2 pi exp(- 1/2 w )
% Check answer by computing the Inverse
using "ifourier"
ft=ifourier(Fw)
ft =
exp(-1/2*x^2)
Exemplul 2
syms t v w x; ft=t*exp(-t^2); Fw=fourier (ft)
Fw =
-1/2*i*pi^(1/2)*w*exp(-1/4*w^2)
pretty(Fw)
1/2 2
- 1/2 i pi w exp(- 1/4 w )
Exemplul 3
syms t v w x; fourier(sym('-exp(-
t)*Heaviside(t)+3*Dirac(t)'))
ans =
-1/(1+i*w)+3
Exemplul 4
syms t v w x; u0=sym('Heaviside(t)');
Fw=fourier(u0)
Fw =
pi*Dirac(w)-i/w
APLICAŢII ÎN ANALIZA CIRCUITELOR
Integrala de convoluţie
Numim H(ω) funcţia sistem
Deci, dacă ştim răspunsul h(t) al sistemului la o intrare de tip impuls unitar, putem
calcula răspunsul la orice intrare, înmulţind transformatele Fourier H(ω) şi F(ω) pentru a
obţine pe G(ω). Apoi calculăm transformata Fourier inversă a lui G(ω) pentru a obţine
răspunsul g(t)
Exemplul 1
Pentru circuitul liniar din figura (a), se ştie că răspunsul la impuls unitar este cel din
figura (b); să se calculeze răspunsul g(t), în cazul în care intrarea f(t) este cea din figura
(c)
Funcţia sistem H(ω) este transformata Fourier a răspunsului la impuls unitar
Pentru a calcula primul termen, aplicăm proprietatea de eşantionare funcţiei delta
şi acest termen se reduce la 3πδ(ω); deoarece
Notăm răspunsul determinat de al doilea termen al intrării cu g2(t) şi înlocuim pe u0(t) cu
u0(t-3)
Exemplul 2
Exemplul 3
Pentru circuitul liniar din figură, relaţia intrare-ieşire este
Exemplul 4 Tensiunea pe un rezistor de 1Ω este
Să se calculeze energia disipată pe resistor şi să se verifice aplicând teorema lui
Parseval
Puterea instantanee este
Energia este
Teorema lui Parseval spune că
Având o funcţie pară în ω, putem integra de la 0 la ∞ şi înmulţi cu 2
