EXEMPLE ELEMENTARE
DE PROBLEME DE OPTIMIZARE
ZIDUL DE ÎMPREJMUIRE
Se pune problema proiectării unui zid de împrejmuire,
de grosime şi înălţime constantă,
care trebuie să includă în interior o suprafaţă dreptunghiulară,
laturile dreptunghiului reprezentând variabilele care trebuie optimizate.
Optimizarea are ca obiectiv
să asigure o valoare maximă a suprafeţei împrejmuite,
în condiţiile unei lungimi date la zidului,
deci în condiţiile unor cantităţi date de material pentru construcţie
(având în vedere faptul că grosimea şi înălţimea zidului sunt constante).
Problema se reduce deci la găsirea dreptunghiului de arie maximă,
dintre toate dreptunghiurile de perimetru dat,
problemă elementară în geometrie.
Notând cu xşi ylaturile dreptunghiului,
funcţia care trebuie maximizată este aria f, respectiv
xyf
în condiţiile perimetrului pconstant,
de exemplu egal cu 4C, deci satisfacerea relaţiei
Cyxp 4)(2
Cyx 2
Relaţia constituie o restricţie pentru variabilele xşi y,
restricţie de tip egalitate.
Intervin şi restricţii de tip inegalitate,
întrucât laturile xşi ytrebuie să fie pozitive,
deci trebuie respectate şi condiţiile:
xCy 2
2
2xCxf
Cxopt
optoptopt xCCCxCy 22
2
max Cyxf optopt
rezultând soluţia cunoscută :
dintre toate dreptunghiurile de perimetru constant,
aria maximă o are pătratul cu perimetrul dat,
valoarea fmax a acestei arii fiind
Condiţia ca zidul să aibă foma unui dreptunghi
constituie şi ea tot o restricţie.
Dacă această condiţie nu ar fi impusă
şi zidul de împrejmuire ar putea avea o formă circulară,
cu lungimea cercului egală cu perimetrul p = 4C din (2),
atunci se obţine osuprafaţă împrejmuită mai mare,
întrucât rezultă raza r a cercului
şi suprafaţa circulară împrejmuită Sc are valoarea
se constată că
O împrejmuire circulară ar fi mai avantajoasă decât una pătrată,
din punct de vedere al suprafeţei obţinute
In cazul tridimensional, respectiv la volumul maxim f
care poate fi obţinut pentru un paralelipiped dreptunghic
de suprafaţă totală S0dată, se va constata că,
în cazul dimensiunilor optime,
paralelipipedul devine un cub
Dacă se notează laturile cu x, y, z,
problema constă în determinarea valorilor
xopt, yopt, zopt
care maximizează volumul
xyzf
Pe o cale analogă la cazul bidimensional,
dacă NU se impune restricţia ca forma rezervorului
să fie un paralelipiped dreptunghic,
cu aceeaşi suprafaţă de tablă S0,
se poate obţine un volum interior
mai mare decât în cazul cubului,
dacă se adoptă forma sferică pentru rezervor
0
)(22 SzyxxyS
optoptopt zyx
REZERVOR CILINDRIC
Se pune problema găsirii dimensiunilor optime
(care asigură un volum maxim)
pentru un rezervor cilindric,
în condiţiile respectării unei suprafeţe totale impuse S0,
suprafaţa totală Sfiind formată
din suprafaţa laterală
plus suprafeţele circulare ale bazelor
(inferioară şi superioară)
în prezenţa restricţiilor
0
2
22 SrrlS
0r
0l
lrf 2
r
rS
l
2
22
0
3
0
2
0
2
22
2rr
S
r
rS
rf
03
2
2
0 r
S
dr
df
60
S
ropt
deci secţiunea transversală este un pătrat
r
dr
fd
6
2
2
6
2
6
2
6
20
0
0
0S
S
S
S
lopt
optopt rl 2
UNGHIUL DE ATAC
din mecanica clasică a fluidelor :
admisibil doar
PROIECTAREA OPTIMĂ A UNEI MAŞINI-UNELTE
DE AŞCHIERE A METALULUI
M –motor de antrenare
S – sculă aşchietoare
P – piesă de prelucrat
fv – viteza relativă sculă-piesă
d -adâncimea de pătrundere a sculei
în metalul piesei
debitul de material tăiat este proporţional cu produsul dfv
se stabileşte un cost de utilizare a maşinii,
optimizarea asigurând minimizarea costului respectiv
fvd
T
N
R
C
R- este componenta costului
aferentă operatorului uman care lucrează la maşină,
în unităţi monetare pe unitatea de timp
N-costul sculei, în unităţi monetare
T– durata de viaţă a sculei, în unităţi de timp
6.037.1 dvf
K
T
K-factor de proporţionalitate
27.0
4.0
37.1
6.0
vf
Kd
N
fvd
R
fvd
vf
K
Nd
R
C
27.0
2
1vfK
fv
K
C
d
R
K
1
4.0
2Kd
N
K
şi constante
în practică, constanta K2
are valori sensibil mai mici decât constanta K1,
C1 < C2 < C3 < C4 < C5 < C6 < C7
Valorile optime ale parametrilor vşi f
vor fi cele care asigură un minim al costului C
şi satisfac anumite condiţii
impuse de construcţia şi funcţionarea maşinii-unelte
construcţia maşinii-unelte
permite ca viteza de avans a sculei
să fie modificată doar între anumite limite
max
ff
min
ff
Aceste condiţii – denumite restricţii –
conduc la separarea unor zone admisibile
şi a unor zone interzise în planul (v , f) ,
delimitate de dreptele L1 şi L2;
în zonele interzise (haşurate),
condiţiile nu sunt respectate,
deci nu pot fi luate în considerare pentru optimizare
Realizarea procesului de aşchiere cere ca scula S
să se rotească într-un anumit sens,
considerat convenţional ca sens pozitiv,
deci există restricţia ca viteza vsă fie pozitivă, respectiv
0v
Această restricţie introduce o delimitare a zonei admisibile,
prin intermediul unei drepte L3 care coincide cu axa absciselor,
zona interzisă (haşurată) fiind situată sub această axă
Alte două restricţii sunt introduce de puterea limitată
care poate fi obţinută de la motorul de acţionare
şi de necesitatea de a nu se depăşi efortul maxim admisibil în sculă
(respectiv o valoare maximă admisibilă a momentului care solicită scula),
pentru ca aceasta să nu se deterioreze.
Pmax -limita superioară a puterii
care poate fi obţinută de la motorul M
Smax solicitarea maximă admisibilă în sculă
Rezultă restricţiile
max
PP
max
SS
Din practică rezultă că între puterea Pşi solicitarea S,
pe de o parte,
şi parametrii f, vşi d, pe de altă parte,
există dependenţe care pot fi aproximate prin relaţiile
2
2
8.0
1
fvMS
vdfMP
unde M1şi M2sunt factori de proporţionalitate
Ca urmare, pentru valorile limită P = Pmax şi S = Smax
rezultă aspectul curbelor L4şi L5din figură,
care limitează, de asemenea, zona admisibilă;
porţiunile haşurate, situate deasupra acestor curbe,
reprezintă zone interzise,
întrucât punctele din aceste zone nu satisac restricţiile
Valorile optime fopt şi vopt ale parametrilor maşinii-unelte
vor fi coordonatele acestui punct – din zona admisibilă
care se vor găsi pe o curbă de cost constant minim,
întrucât pentru aceste valori optime
va rezulta minimul costului C
adoptat în calitate de criteriu de optimizare
Deoarece pe curbele de cost constant
valoarea costului este cu atât mai mică
cu cât curba este mai sus, din figură rezultă
că punctual E– de la intersecţia curbelor L4şi L5
se găseşte pe acea curbă de de cost constant
(dintre toate curbele de cost constant
care traversează zona admisibilă
sau sunt tangente la această zonă)
căreia îi corespunde cel mai mic cost C3,
deci coordonatele punctului E
sunt valorile optime căutate fopt şi vopt
ale parametrilor maşinii-unelte proiectate
f=.05:.01:.35;
plot(f,f.^-.35,f,2*f.^-.35,f,3*f.^-.35,f,4*f.^-.35)
plot(f,f.^-.35,f,2*f.^-.35,f,3*f.^-.35,f,4*f.^-.35,f,f.^-.8,f,2*f.^-.4)
plot(f,f.^-.35,f,2.181*f.^-.35,f,3*f.^-.35,f,4*f.^-.35,f,f.^-.8,f,2*f.^-.4)
pentru f=.176777 avem v=4
Utilizând comenzile Matlab
PROIECTAREA OPTIMĂ A UNEI GRINZI
Se presupune că tipul de grindă a fost ales
şi urmează să se optimizeze numai dimensiunile
Exemplu: pentru o grindă rezemată în dublu T,
realizată din tablă sudată, de lungime l
şi supusă acţiunii unei sarcini concentrate W,
aplicată la distanţa ade razemul din stânga,
optimizarea are ca scop găsirea valorilor optime
pentru dimensiunile h, b, g1, g2 ale grinzii
cgghbgf
])2(2[ 211
unde γ este greutatea specifică, iar ceste costul în um/Kg
Restricţiile sunt atât de tip egalitate, cât şi de tip inegalitate
Una dintre restricţiile de tip egaliatate poate fi obţinută
pe baza ecuaţiei efortului maxim la încovoiere γmax
Conform relaţiilor din rezistenţa materialelor,
acest efort va avea expresia
12
)2(
4
2
)(
2
2
1
2
1
max g
gh
habg
l
h
aalw
deci rezultă restricţia de tip egalitate
0
12
)2(
4
2
)(
2
2
1
2
1
max
g
gh
habg
l
h
aalw
în membrul stâng al egalităţii intervenind funcţia
Ψ1(h, b, g1, g2, σmax)
dependentă de dimensiunile care urmează să fie optimizate
Analog, determinând efortul maxim la forfecare τmax,
se obţine o restricţie de tip egaliate de forma
Ψ2(h, b, g1, g2, σmax)
Determinând efortul în zona sudurii şi săgeata maximă,
se oţin alte restricţii de tip egalitate
Restricţiile de tip inegalitate
rezultă din limitarea eforturilor maxime
la valorile care asigură funcţionarea grinzii
fără pericol de rupere,
sau de intrare a materialului în zona de curgere.
Exemplu:
notând cu Sefortul de curgere al materialului
şi cu Ncoeficientul de siguranţă necesar,
efortul σ trebuie să satisfacă o relaţie de forma
N
S
max
Uneori, secţiunea grinzii NU este menţinută constantă pe toată lungimea
Exemplu:
o grinda în consolă cu secţiune dreptunghiulară,
supusă acţiunii unei sarcini statice uniform distribuite
Proiectarea optimă are ca obiectiv determinarea acelei forme a grinzii
care asigură o cantitate minimă de material,
cu respectarea restricţiilor
rezultate din condiţia de anu depăşi solicitarea admisibilă
şi din condiţia ca frecvenţa naturală
să fie superioară unei limite inferioare impuse
OPTIMIZAREA PROIECTĂRII
UNUI CIRCUIT ELECTRIC
De regulă, performanţele impuse unui circuit electric, de exemplu,
un circuit RLC, includ anumiţi indici de calitate ai răspunsului la un semnal
dat aplicat la intrare, sau anumite delimitări ale domeniului în care trebuie
să se găsească caracteristicile de frecvenţă, existând o corespondenţă între
răspunsul în timp şi caracteristicile de frecvenţă.
Considerând, de exemplu, că pentru caracteristica amplitudine-
pulsaţie (amplitudinea Aîn decibeli, pulsaţia ωîn radiani/sec) se impune –în
intervalul dintre pulsaţiile ωaşi ωb–domeniu delimitat în figura 1 de
graniţele D1şi D2, parametrii circuitului electric trebuie aleşi astfel încât
caracteristica de frecvenţă rezultată să se apropie cât mai mult de o
caracteristică considerată optimă, situată în domeniul respectiv; pentru
ilustrare, se presupune că aspectul caracteristicii optime este cel al curbei
continue din figura 1.
Proiecatrea se poate efectua alegând pe caracteristica optimă un număr de
puncte în intervalul de pulsaţii menţionat şi determinând parametrii circuitului
electric din condiţia minimizării unei funcţii de diferenţele (calculate în punctele
respective) dintre valoarea amplitudinii pe caracteristica optimă şi valoare
amplitudinii rezultată din proiectare; prin minimizarea acestei funcţii,
caracteristica circuitului proiectat se va apropia în cea mai bună măsură posibilă –
pentru structura aleasă a circuitului şi numărul de parametri care corespund
acestei structuri –de caracteristica optimă.
Considerând că parametrii p1, p2,…,pnai circuitului proiectat formează
un vector p, notând punctele alese pe caracteristica optimă cu i = 1, 2, …, n (în
aceste puncte pulsaţiile având valorile ωi,cu ωa<ωi<ωb)şi notând cu di(p)
diferenţele – în fiecare punct i –dintre amplitudinile pe caracteristica optimă şi pe
cea rezultată din proiectare, funcţia cea mai frecvent utilizată în practică pentru
optimizare are aspectul
n
iipdpf
1
2
)()(
şi reprezintă suma pătratelor diferenţelor respective; aceste diferenţe depind, evident,
de parametrii p1,p2,…,pnai circuitului, deci de vectorul p,funcţia ffiind astfel
dependentă de p.
Determinarea acelor valori ale parametrilor p1,p2,…,pncare minimizează
funcţia fconduce la obţinerea unor diferenţe minime di, deci la cea mai bună
apropiere între caracteristica rezultată din proiectare şi caracteristica optimă.
Optimizarea prin metoda minimizării unei funcţii de tipul celei din (1),
denumită curent “metoda celor mai mici pătrate”, este o metodă curentă în cadrul
tehnicilor denumite generic “probleme de identificare”.
Problema proiectării optime a circuitului electric are, însă, şi alte aspecte,
atât tehnice cât şi economice. Astfel, în cadrul considerentelor anterioare, delimitările
domeniului prin graniţele D1şi D2(din figura 1) nu au intervenit până acum.
În realitate, parametrii optimi ai circuituuli electric – obţinuţi prin
minimizarea expresiei (1) –nu pot fi realizaţi cu o precizie ideală, întrucât elementele
componente ale circuitului şunt caracerizate de anumite toleranţe.
Ca urmare, dacă valorile parametrilor se abat de la cele calculate, atunci
caracteristica de frecvenţă se abate de la cea proiectată şi apare pericolul depăşirii
graniţelor domeniului admisibil; de exemplu, caracteristica poate căpăta aspectul
curbei punctuate din figura 1, depăşind graniţa D1.
Problema iniţială poate fi reformulată în modul
următor :să se determine toleranţele maxime admise
pentru elementele componente ale circuitului electric,
astfel încât abaterile de la caracteristica proiectată
(abateri rezultate pentru variaţii ale parametrilor în
cadrul toleranţelor respective) să nu provoace depăşirea
graniţelor domeniului admisibil.
În acestă formulare, optimizarea asigură un efect
economic mai important, întrucât folosirea unor elemente
cu toleranţe mai largi conduce la reducerea sensibilă a
costului elementelor respective.
Pentru ilustrare grafică (într-un plan) a aspectului
curbelor corespunzătoare restricţiilor, se consideră cazul
unui circuit cu doi parametri, p1şi p2. Alegând un număr
de puncte pi(de exemplu i= 1, 2, 3) pe caracteristica
optimală din figura 1, se constată că pentru fiecare punct
există olimită superioară di+şi olimită inferioară di-
pentru diferenţa di(p) dintre amplitudinea pe
caracteristica optimă şi cea rezultată ca urmare a
toleranţelor, valorile di+şi di-fiind determinate de
distanţele pe verticală între punctul işi graniţele D1şi D2;
diferenţele di(p)) sunt cele care intervin şi în (1).
În planul celor doi parametri p1,p2(figura 2) pot fi traste
curbele aferente restricţiilor
d1+, d1-, d2+, d2-, d3+, d3-, presupunând cunoscute analitic
dependenţele dintre amplitudini şi valorile parametrilor
circuitului electric; trasarea curbelor se efectuează pe o cale
analogă cu cea folosită pentru curbele restricţiilor din cazul
proiectării optime a unei maşini-unelte. Cele şase curbe din
figura 2, corespunzătoare limitelor unor restricţii de tip
inegalitate, de forma
di+≤di(p) ≤di-(3)
delimitează un domeniu admisibil în planul p1,p2.
A doua operaţie prealabilă pentru rezolvarea pe cale simplă
a problemei reformulate, constă în introducera unui număr
pozitiv Kşi în considerarea toleranţei fiecărui element al
circuitului proiectat ca fiind proporţional cu acest număr,
pentru fiecare element factorul de proporţionalitate având o
valoare specifică;de exemplu, se poate considera că pentru
parametrul p1toleranţa este egală cu 4K, iar pentru
parametrul p2este egală cu 2K, prima toleranţă fiind deci
egală cu dublul celeilalte.
În aceste condiţii, problema de optimizare se poate
rezolva în raport cu osingură mărime K, parametrii
optimi p1şi p2ai circuitului electric fiind cei care
asigură o valoare maximă pentru K(deci toleranţe
maxime) în condiţiile respectării restricţiilor impuse.
Figura 2
Având în vedere presupunerea anterioară asupra celor
două toleranţe, rezultă că în planul parametrilor p1,p2
regiunea corespunzătoare toleranţelor considerate va fi
reprezentată de un dreptunghi având baza (paralelă cu
axa p1)egală cu dublul înălţimii (paralelă cu axa p2),
laturile dreptunghiului fiind proporţionale cu valoarea K.
Optimizarea constă, astfel, în determinarea
dreptunghiului de dimensiuni maxime (cu pastrarea
raportului fixat între laturi) care poate fi înscris în
domeniul admisibil delimitat de cele şase curbe de
restricţii din figura 2; presupunând că dreptunhiul de
dimensiuni maxime este dreptunghiul din figura 2,
punctul de intersecţie al diagonaelor defineşte parametrii
optimi p1şi p2ai circuitului electric proiectat.
Aceste valori optime ale parametrilor asigură
admisibilitatea unor toleranţe maxime (deci oţinerea unui
cost minim) în raport cu orice alte valori ale parametrilor
care corespund condiţiilor de respectare a restricţiilor
impuse.
p1=0.4:0.01:0.8;
d1m=1./p1;
d1p=d1m+0.4;
d2m=0.9+1./(2.*p1);
d2p=d2m+0.4;
d3m=1.1+1./(3.*p1);
d3p=d3m+0.4;
plot(p1,d1m,'r',p1,d1p,'r',p1,d2m,'g',p1,d2p,'g',p1,d3m,'b',p1,d3p,'b')
grid
OPTIMIZAREA TRASEULUI
UNUI METROU
Se pune problema optimizării traseului subteran al unui metrou,
adoptând în calitate de criteriu minimizarea energiei consumate de trenurile
care circulă în ambele direcţii;se presupune că amplasarea staţiilor este
fixată în prealabil de anumite considerente (cum ar fi repartiţia populaţiei în
diferite zone ale oraşului), iar traseul în plan orizontal este, de asemenea,
determinat (de caracteristicile geologice ale solului, existenţa unor clădiri cu
fundaţii adânci, parcări subterane, reţele de canalizare, etc.), problema
constând deci în determinarea traiectoriei optime într-un plan vertical
“echivalent”.
Pentru definirea acestui plan vertical echivalent, se consideră
proiecţia în plan orizontal a traseului dintre două stţii Aşi B(figura 1),
distanţa l dintre staţii fiind măsurată de-a lungul acestei proiecţii.
Considerând o suprafaţă curbă care intersectează
planul orizontal după proiecţia traiectoriei din figura 1 şi
care, totodată, este în fiecare punct perpendiculară pe
planul orizontal, aplatizarea acestei suprafeţe până când
rezultă un plan conduce la obţinerea planului vertical
echivalent; aspectul pe care îl are traiectoria în planul
vertical echivalent este reprezentat în figura 2 prin curba C.
Alegerea criteriului de optimizare are o serie de
aspecte contradictorii. Astfel, un criteriu de optimizare poate
fi rapiditatea transportului, ceea ce presupune acceleraţii
importante la plecarea dintr-o staţie şi deceleraţii importante
în apropierea sosirii în cealaltă staţie, cu oviteză ridicată pe
parcurs (fără adepăşi limitele impuse de siguranţa
transportului şi confortul pasagerilor).
Dar un asemenea criteriu conduce la consumuri mari
de energie pentru accelerare şi frânare, precum şi ouzură
importantă provocată de frânare, apărând astfel şi problema
de întreţinere;în plus, frânarea mecanică degajă căldură şi
evacuarea acesteia din tunel determină consumuri
suplimentare de energie.
Dacă, pe lângă criteriul rapidităţii transportului, se
adoptă şi un criteriu de reducere a consumului de energie,
atunci optimizarea traiectoriei în planul vertical echivalent
(figura 2) poate fi asigurată prin adoptarea unei forme a curbei
C care să permit folosirea efectelor gravitaţiei pentru accelerare
şi decelerare.
Astfel, dacă curba C are în apropierea staţiilor oanumită
pantă maximă admisă pmax (în figura 2, curba pleacă din staţia A
cu pamta –pmax şi ajunge în staţia Bcu panta + pmax)–valoarea
pantei maxime fiind dictată de considerente de construcţie a
bandajelor roţilor şi reprezentând o restricţie) – atunci efectele
gravitaţiei contribuie la accelerarea trenurilor la plecarea din
staţii şi la decelerarea trenurilor la sosirea în staţii.Se obţine
astfel o reducere a consumurilor de energie pentru accelerare şi
decelerare şi o reducere a uzurii la frânare, fiind respectată
condiţia de rapiditate a transportului.
Acest din urmă exemplu ilustrează importanţa
deosebită pe care o are alegerea criteriului de optimizare şi
efectele economice importante care pot fi obţinute printr-o
alegere judicioasă.
Întrucât criteriul de optimizare concretizează obiectivul
urmărit prin acţiunea de optimizare, se poate spune că însăşi
alegerea criteriului de optimizare reprezintă ooperaţie de
optimizare, şi anume optimizarea obiectivului urmărit.
