Folosirea multiplicatorilor
Lagrange
pentru rezolvarea problemelor de
optim cu restricţii de tip egalitate
Fie cazul cǎutǎrii extremului (de exemplu , a maximului)
unei funcţii criteriu de n variabile
),,,()( 21 n
xxxff x
cu m restricţii de tip egalitate
0),,,()( 21 nii xxxhxh
,
nmmi ,,2,1
(1)
(2)
2
este demonstrat cǎ punctual
**
2
*
1,,, n
xxx
care maximizeazǎ funcţia criteriu (1), cu respectarea respectarea
restricţiilor (2), poate fi obţinut prin optimizarea (maximizarea)
fǎrǎ restricţii a funcţiei
1 2 1 2
1 2 1 2
1
( , ) ( , , , , , , , )
( , , , ) ( , , , )
nm
m
n i i n
i
x x x x
f x x x h x x x
LL
Funcţia
1 2 1 2
( , , , , , , , )
nm
x x x
L
este denumitǎ funcţie Lagrange (sau lagrangean), iar scalarii
12
, , , m
sunt numiţi multiplicatorii Lagrange 3
Extremul funcţiei Lagrange se obţine prin intermediul condiţiilor
*
'( ) ( )ff x x 0
1
2
0
0
0
n
x
x
x
L
L
L
4
2
12
( , ) ( , )f x x f r l r l
S = 2πrl + 2πr2= S0
EXEMPLUL 1 : PROBLEMA REZERVORULUI CILINDRIC
2
1 1 2 1 0
( , ) ( , ) 2 2 0h x x h r l rl r S
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2
22
1 1 1 0
( , , ) ( , , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) (2 2 )
x x r l f x x h x x
f r l h r l r l rl r S
LL
5
1
1
2 (2 4 ) 0rl l r
xr
LL
21
2
20rr
xl
LL
1
2r
11
20rl l r
1
1
2r
lr
2
11
1
4
l
2lr
22
1 1 0
16 8 0S
0
124
S
0
224
opt S
r
0
424
opt S
l
6
EXEMPLUL 2 : Se consideră circuitul din figura
Se cere să se determine valorile R şi X astfel încât să se
minimizeze tensiunea continuă de ieşire Uc în regim
permanent, respectând următoarele valori pentru valorile
efective ale tensiunii alternative de intrare u şi curentului i:
U = 110 V, I = 0.1 A, frecvenţa = 50 Hz
8
Modelul matematic este reprezentat de următoarele ecuaţii:
ceea ce este echivalent cu:
9
Funcţia Lagrange va fi de forma:
iar sistemul de ecuaţii care trebuie rezolvat pentru determinarea
soluţiei optime:
10
Acest sistem are două soluţii:
11
12
EXEMPLUL 3 :
Să se determine punctele de extrem ale funcţiei
f(x,y,z) = xyz
în prezenţa restricţiilor
x + y + z = 5
xy + yz + zx = 8
13
Construim funcţia lui Lagrange:
Determinăm punctele critice şi valorile corespunzătoare
ale multiplicatorilor Lagrange .
14
Obţinem sistemul simetric:
Adunăm între ele primele trei ecuaţii
şi înlocuim suma şi suma dublelor produse din ultimele două ecuaţii
15
Scădem între ele, două câte două, primele trei ecuaţii
reducem termenii asemenea şi scoatem factorul comun
16
Conform fiecărei ecuaţii în parte, avem de analizat câte două situaţii:
Este suficient să studiem următoarele patru cazuri:
17
Observăm că i), iii) şi iv) conduc la x = y = z de unde, conform
ecuaţiilor a patra şi a cincea din sistemul iniţial, rezulta contradicţia
3x = 5 şi 3x2= 8
În cazul ii) z = x = -μ,
iar ecuaţiile a patra şi a cincea din sistemul initial devin
Efectuăm substituţia y = 5 –2x în ultima ecuaţie şi obţinem succesiv
18
19
punctele critice sunt:
Calculăm derivatele parţiale de ordinul doi ale funcţiei Lagrange şi
formăm diferenţiala de ordinul al doilea:
